Trumpo sugrįžimo į tėvynę metu pianistas taip pat rengia koncertus Klaipėdoje ir Baltarusijos sostinėje Minske.
Keturiolikos konkursų laureatas G. Alekna buvo pirmasis iš lietuvių, į garsiąją Juilliardo mokyklą Niujorke priimtas skiriant visą stipendiją, o 2006 m. jis tapo pirmuoju lietuviu, kuriam suteiktas šios mokyklos muzikos menų daktaro laipsnis. G. Alekna muzikos studijas pradėjo būdamas penkerių metų. Baigęs M. K. Čiurlionio menų gimnaziją studijavo Lietuvos muzikos ir teatro akademijoje pas savo ilgametę dėstytoją doc. Liuciją Drąsutienę. 1996 m. jis buvo pakviestas tęsti mokslų Juilliardo mokykloje Niujorke. Vadovaujant prof. Jerome Lowenthaliui, čia baigė bakalauro, magistro ir daktaro studijas.
„Ypač talentingas pianistas ir muzikas“, – taip apie G. Alekną atsiliepė vienas žymiausių šių laikų muzikų Danielis Barenboimas.
G.Alekna nuolat koncertuoja su pagrindiniais Lietuvos kolektyvais – Nacionaliniu simfoniniu orkestu, Valstybiniu simfoniniu orkestu, Lietuvos bei Šv. Kristoforo kameriniais orkestrais. Austrijoje pianistas yra skambinęs su Vienos radijo simfoniniu, JAV – su Juilliardo (Niujorkas) orkestrais, o 2009 m. pavasarį pasirodė su Baltarusijos valstybiniu simfoniniu orkestru.
Šalia solinių pasirodymų su orkestrais G. Alekna Lietuvoje dažnai muzikuoja su kamerinės muzikos partneriais – Valstybiniu Vilniaus bei Čiurlionio kvartetais, violončelininku Edvardu Armonu; Niujorke drauge su pianiste Ursula Oppens ir Niujorko filharmonijos orkestro timpanistu Joe Pereira yra atlikęs Bartoko sonatą dviems fortepijonams ir mušamiesiems, o Izraelyje muzikavęs su violončelininku Zvi Harelu. 2008 m. pasirodė G. Aleknos ir violončelininko Edvardo Armono įrašyta romantinės muzikos kompaktinė plokštelė.
Tarp G.Aleknos pastarojo meto solinių pasirodymų – koncertai Vienos Musikverein, Bösendorfer Saal ir Stadtsalon, Liszt in Vredenburg festivalyje Utrechte (Olandija), Čikagos, Niujorko bei Adelphi (Niujorkas) universitetuose, Bösendorfer bei Yamaha rečitalių salėse Niujorke, „Sugrįžimų“ ir „Kristupo vasaros“ festivaliuose Vilniuje, Hamptonų muzikos festivalyje (Niujorko valstija), renginiuose Bostone ir Vašingtone.
2003 m. pakviestas Niujorko Carnegie Hall G. Alekna su penkiais kitais jaunais muzikais dalyvavo L. van Beethoveno sonatų meistriškumo kursuose, kuriuos vedė Danielis Barenboimas. Pianisto atliekamos Beethoveno muzikos interpretacijos buvo aptariamos moksliniuose pranešimuose Beethoveno konferencijoje Varšuvoje (2005), muzikos semiotikų konferencijose Paryžiuje bei Imatroje, Suomijoje (2004), taip pat – atlikimo meno studijoms skirtoje konferencijoje Performa07 Aveiro, Portugalijoje (2007).
G. Aleknos koncertų įrašus daugelyje Europos šalių transliavo Euroclassic, BBC ir Österreich 1 radijo stotys, Jungtinėse Amerikos Valstijose – WQXR (Niujorkas) bei satelitinio radijo stotys. 2000-ųjų vasarą G. Alekna praleido prestižiniame Seiji Ozawos vadovaujamame Tanglewoodo festivalyje.
G. Alekna yra 20 amžiaus lietuvių kompozitoriaus ir pianisto V. Bacevičiaus muzikos ekspertas. Jo Muzikos menų daktaro disertacija apie V. Bacevičiaus nespausdintus kūrinius fortepijonui buvo apdovanota Richard F. French prizu kaip geriausia Niujorko Juilliardo mokyklos metų disertacija. Ši disertacija 2006 m. pasirodė kartu su G. Aleknos parengtu anksčiau nespausdintų V. Bacevičiaus kūrinių fortepijonui dvitomiu, išleistu Lietuvos Muzikos informacijos ir leidybos centro.
Šiemet G. Alekna kartu su žymiais pasaulio klasikinės muzikos atlikėjais ir prodiuseriais įrašė V. Bacevičiaus kūrinius „Žodžiai“. Kompaktinė plokštelė su šiais kūriniais bus išleista Didžiosios Britanijos leidybos kompanijos „Toccata Classics“ ir platinama tarptautinėje rinkoje.
Lietuvių kompozitoriaus kūriniai įrašyti kartu su žymia pianiste, Grammy apdovanojimams triskart nominuota Ursula Oppens, Niujorko Juilliardo mokyklos dėstytoju vargonininku Matthew Lewis. V. Bacevičiaus kūrinius Niujorke padėjo įrašyti garso inžinierė ir prodiuserė Judith Sherman, kuri du kartus yra pelniusi Grammy metų klasikinės muzikos prodiuserės apdovanojimą („Classical Producer of the Year“).
