A.Kvietkauskas nuo pat 1976-ųjų tuometiniame Lietuvos rusų dramos teatre, dabartiniame Vilniaus senajame teatre, dirbo montuotoju, rekvizitininku, režisieriaus padėjėju.
2001–2006 metais dirbo trupės vedėju. Buvo kone visų Jono Vaitkaus teatre režisuotų ir kitų spektaklių režisieriaus padėjėjas: „Sveiki, emigrantai!“ (2005), „Dviejų pasaulių viešbutis“ (2007), „Prakeikta meilė“ (2010), „Kvailių vakarienė“ (2010), „Paskutinysis aistringas meilužis“ (2011), „Eglutė pas Ivanovus“ (2012), „Stabmeldžiai“ (2013), „Ledų rūmai“ (2013), „Eugenijus Oneginas“ (2013), „Žvirblio lizdas“ (2013), „Septynios gražuolės“ (2015), „Oskaras ir ponia Rožė“ (2015), „Septyni fariziejaus Sauliaus penktadieniai“ (2016), „Vieniši“ (2017), „Urodas“ (2018), „Utopija“ (2020) ir t. t.
Atliko epizodinius vaidmenis spektakliuose: M.Lermontovo „Maskaradas“ (rež. V.Lanskoj, 1976), P.Ustinovo „Pusiaukelėje į viršūnę“ (rež. I.Petrov, 1977), J.Anouilho „Žana d’Ark“ (rež. V.Zacharov, 1980), A.Ostrovskio „Pelninga vietelė“ (rež. I.Petrov, 1983), D.Taborio „Mein Kampf“ (rež. A.Vilkin, 1991), A.Volkovo „Smaragdo miesto burtininkas“ (rež. A.Šablauskas, 1996), D.Fonvizino „Nesubrendėlis“ (rež. B.Juchananov, 1999) ir t. t.
A.Kvietkauskas – tikroji Pohuliankos, senojo rusdramio, Vilniaus senojo teatro rūmų siela. Kuklus, geras žmogus, patikimas, kuris tikrąja to žodžio prasme visą savo gyvenimą atidavė teatrui. Algis, kaip jį paprastai vadindavo, buvo tikra „teatro dvasia“ – ryte ateini, Algis jau čia, vakare išeini, jis dar čia. Rodėsi, kad jis gyvena teatre ir tik teatru. Visada draugiškas, pasiteiraudavo, kaip sekasi... Labai pasigesime Žmogaus, pažinojusio teatrą „nuo rūsių iki palėpės“.
„Buvo puikus režisieriaus padėjėjas, be fanaberijų, labai mėgo talentingus žmones, o tai teatre retai pasitaiko. Visuomet turėjo savo nuomonę, kurios niekad nepiršo, nors retai klysdavo. Turėjo puikų humoro jausmą, inteligentiškas. Ir labai nelaimingas, vienišas. Iš teatro nieko neužgyveno, nė kukliausio būsto, jo gūžta buvo užkulisiuose. Vargingesnis už bažnyčios pelę. Prisimenu jį su didžiausia pagarba ir nuoširdžiu pasigėrėjimu, kad sugebėjo taip kilniai visą gyvenimą paaukoti teatrui. Sudie, tikrasai Pohuliankos Fantome! Liūdžiu ir gedžiu drauge su teatru“, – teigė teatro kritikas Julijus Lozoraitis.
