Antanas Vilčinskas gimė 1948 m. rugpjūčio 4 d. Vidiškiuose, Ukmergės apskrityje.
Buvo slidininkas, biatlonininkas, biatlono ir slidinėjimo, greitojo čiuožimo treneris, teisėjas.
SSRS sporto meistras (1972), LSSR nusipelnęs treneris (1983), Tarptautinės kategorijos greitojo čiuožimo teisėjas (2005), Nacionalinės kategorijos treneris (2008).
1979 m. baigė Lietuvos valstybinį kūno kultūros institutą.
Lietuvos biatlono ir slidinėjimo rinkinės narys (1966–1974), daugkartinis Lietuvos čempionatų nugalėtojas ir prizininkas, SSRS biatlono čempionato bronzos laimėtojas.
1975–1979 m. „Dinamo“ sporto draugijos Respublikinės tarybos biatlono treneris, 1979–1981 m. Kūno kultūros ir sporto komiteto (KKSK) biatlono ir slidinėjimo sporto šakų vyr. treneris, 1981–1985 m. KKSK Taikomųjų ir žiemos sporto šakų skyriaus vyr. treneris, 1985 m. KKSK Sportinių žaidimų ir žiemos sporto šakų skyriaus viršininko pavaduotojas, 1986–1990 m. KKSK Sporto valdybos vyr. treneris, 1990–1992 m. Respublikinės aukštojo sportinio meistriškumo mokyklos slidinėjimo ir biatlono vyr. treneris, 1992–1994 m. Lietuvos sporto federacijų direktorato generalinis sekretorius, 1992–1996 m. Lietuvos čiuožimo federacijos, nuo 1997 m. Lietuvos greitojo čiuožimo asociacijos (LGČA) generalinis sekretorius. 1999–2003 m. „Žalgirio“ sporto draugijos Respublikinės tarybos specialistas, 2003–2005 m. Lietuvos kerlingo asociacijos generalinis sekretorius, nuo 2008 m. Vilniaus olimpinio sporto centro greitojo čiuožimo trumpuoju taku treneris.
Iš kerlingo asociacijos jis buvo pašalintas dėl konfliktų su šio sporto bendruomene, o paskui susipyko ir su žymiausia greitojo čiuožimo auklėtine – olimpiete Agne Sereikaite – 2010–1912 m. Europos jaunimo greitojo čiuožimo trumpuoju taku taurės laimėtoja, pasaulio jaunimo vicečempionė (2012).
A.Sereikaitė baigė karjerą užpernai po itin sunkios traumos, kurią patyrė per varžybas Pietų Korėjoje – ten pat buvęs jos treneris neaplankė Seulo ligoninėje ir nepasiūlė pagalbos.
Buvęs LGČA laikinuoju prezidentu (1998–2000), nuo 2013 m. A.Vilčinskas buvo LGČA prezidentas. Pastaruoju metu laikinai buvo sustabdęs šias pareigas.
Pernai A.Vilčinskas buvo pripažintas kaltu dėl dokumentų klastojimo, įrašant į varžybų protokolus varžybose nedalyvavusius čiuožėjus ir taip gaunant iš Vilniaus savivaldybės didesnį asmeninį finansavimą.
A.Vilčinskas taip pat buvo LTOK Generalinės asamblėjos (nuo 1992), Lietuvos sporto federacijų sąjungos prezidiumo (nuo 2009) narys.
Inicijavo ir dalyvavo įrengiant Lietuvos žiemos sporto centro riedučių trasą Ignalinoje, Sapieginės šaudyklą ir asfaltuotą trasą Vilniuje.
Apdovanojimai – KKSK aukso medalis Už aukštus sportinius pasiekimus (1984, 1988), KKSD Sporto garbės kryžius (2009), LTOK Olimpinė žvaigždė (2009), LTOK medalis Už nuopelnus olimpizmui (2013).
