Matematiškai tiksliai ši problema buvo išspręsta po 150 metų ir tam padaryti prireikė genijaus Izaoko Niutono.
Jis problemą supaprastino iki dviejų kūnų, veikiamų vienas kito gravitacijos. Niutonas išvedė formulę, apibūdinančią gravitacinės traukos jėgą, ir ją integravo. Integruota funkcija parodė, kad planetos juda elipsėmis.
Kadangi Niutonas parodė, kad dviejų kūnų problema yra integruojama, tai leido visiškai tiksliai apskaičiuoti, kur tam tikru laiku bus, pavyzdžiui, Žemė, skriedama aplink Saulę.
Niutonas iš tikrųjų išsiaiškino daug daugiau, t. y. kokiomis trajektorijomis kūnas gali kristi gravitaciniame lauke. Be elipsės dar yra dvi galimos trajektorijos. Mūsų planetoje gerai žinoma yra parabolė (pvz., krentantis patrankos sviedinys). Taip pat kūnas gali kristi hiperbolės trajektorija – jeigu objektas juda pakankamai greitai, išsilaisvindamas iš kito kūno gravitacinio lauko jis skries būtent šia trajektorija. Visos trys formos yra vadinamieji kūgio pjūviai.
Kadangi Niutonas parodė, kad dviejų kūnų problema yra integruojama, tai leido visiškai tiksliai apskaičiuoti, kur tam tikru laiku bus, pavyzdžiui, Žemė, skriedama aplink Saulę (ignoruojant visų kitų dangaus kūnų įtaką). Natūraliai kyla kitas klausimas – kaip elgsis trijų kūnų sistema, pavyzdžiui, Saulė, Žemė ir Saturnas? Pasirodo, kad šis klausimas yra žymiai sudėtingesnis, nes trijų kūnų gravitacinė trauka sukuria labai sudėtingą sistemą. Spręsdami šią problemą matematikai susidūrė su vienu iš pirmųjų chaoso pavyzdžių. Greitai buvo išsiaiškinta, kad trijų kūnų sistemos neįmanoma integruoti, todėl ir trijų kūnų problemos išspręsti neįmanoma.
Tačiau padarius prielaidą, kad vieno kūno masė yra tokia maža, kad jos gravitacinė jėga nedaro įtakos kitiems dviems kūnams, problema yra išsprendžiama. Pavyzdžiui, taip galime apskaičiuoti tikslią satelito trajektoriją tarp Žemės ir Mėnulio.
Lagranžo taškai
Du žymūs matematikai – Oileris ir Lagranžas parodė, kad erdvėje, supančioje du kūnus, kaip, pavyzdžiui, Žemės-Mėnulio sistema, egzistuoja ypatingi regionai, kuriuose nedidelis kūnas, kaip kosminis laivas, levituoja nekeisdamas pozicijos kitų dviejų kūnų atžvilgiu. Oileris rado tris tokius taškus, o Lagranžas – dar du.
Šie unikalūs taškai erdvėje vadinami Lagranžo taškais. Kiekvienoje dviejų kūnų sistemoje jų yra penki. Paimkime Žemės-Mėnulio ir kosminio laivo pavyzdį. Kosminis laivas, besisukdamas aplink Žemę, yra veikiamas įcentrinės jėgos ir Žemės bei Mėnulio gravitacinių jėgų. Lagranžo taškai yra tie taškai, kuriuose Mėnulio ir Žemės gravitacinė trauka, veikianti kosminį laivą, atsveria įcentrinę jėgą. Dėl to, sukantis Saulės sistemai, kosminis laivas išlaiko tą pačią poziciją Žemės ir Mėnulio atžvilgiu.
Lagranžo taškai nustatomi tarp dviejų, vienas aplink kitą besisukančių kūnų, tad yra ne tik Žemės ir Mėnulio Lagranžo taškai, bet ir tarp bet kokių kitų dviejų stambių kūnų. Pvz., tarp Saulės ir Žemės, Saulės ir Jupiterio, Saturno ir jo palydovų. Ar šie taškai tėra tik teorinės žinios?
Pasirodo, jie jau seniai naudojami praktikoje. Bet kuriame iš šių taškų kosminis laivas gali išlaikyti stabilią poziciją beveik nenaudojant kuro, o tai idealu ilgalaikėms kosminėms misijoms. Pavyzdžiui, taške L3 šiuo metu yra SOHO (Solar and Heliospheric Observatory) kosminė observatorija, kuri nekliudomai stebi ir daro tyrimus apie Saulę. Taške L2 šiuo metu yra WMAP (Wilkinson Microwave Anistropy Probe), kuris tiria radiaciją, likusią nuo didžiojo sprogimo.
Šių penkių taškų dinaminės savybės skirtingos. Taškai L4 ir L5 paprastai yra vadinami stabiliais. Jie stabilūs, jei didesniojo ir mažesniojo kūnų masių santykis (M1/M2) yra didesnis nei 24,96. Tai teisinga Saulės – Žemės bei, iš dalies, Žemės – Mėnulio poroms. Mažiausias stumtelėjimas kosminiam laivui, esančiam taškuose L4 ar L5 – ir laivas pamažu grįš atgal į savo pradinį tašką. Šiuose taškuose objektai gali pasilikti amžinai.
Taškai L1, L2 ir L3 yra nestabilūs. Mažiausias stumtelėjimas, ir kosminis laivas iš šių taškų pradės judėti tolyn negrįžtamai. Dėl to SOHO ir WMAP turi įjungti savo variklius kartą per dvi savaites tam, kad išliktų stabilūs L3 ir L2 orbitose.
Šie taškai taip pat atveria duris tarpplanetinėms kelionėms, kurioms beveik nereikėtų kuro. Tam, kad pajudėtum nuo Žemės paviršiaus iki žemutinės Žemės orbitos (LEO – Low Earth Orbit), reikia 9.7 km/s greičio pokyčio, o tam pasiekti reikia milžiniško kiekio kuro. Tačiau tarp L1 ir L2 judėjimui reikia tik 0.014 km/s greičio pokyčio – o tai ne greičiau nei dviračio judėjimas! Tarp šių dviejų taškų yra vadinamasis ultražemos energijos kelias. Paprastai tariant, tarp šių taškų nėra jokios „įkalnės“ ir judėti galime beveik nenaudojant kuro.
NASA rimtai svarsto taške L1 įrengti pastovią kosmoso stotį. Ji būtų naudojama taisyti erdvėlaiviams, sugedusiems keliaujant L2-L1 keliu ar pastoviai gyvenamai vietai kosmose. Vis daugiau tyrimų vyksta siekiant atrasti tokius žemos energijos kelius ir tarp kitų planetų. NASA matematikas Martinas Lo su savo komanda sukūrė šios teorijos pagrindus. Ištyrus šią sritį išsamiau, galėtume pasiekti, kad kosminis laivas žemos energijos keliais tarp planetų skrietų beveik nemokamai.
