Puolėjo pozicijoje įprastai rungtyniaujantis 20 metų žaidėjas Lietuvą paliko dar būdamas jaunuolis, vos 13 metų.
„Italijoje praleidau nemažai metų. Įgijau daug patirties ir manau, jog atėjo laikas rungtyniauti su vyrais, todėl ir priėmiau šį sprendimą, grįžti į Lietuvą , – kalbėjo A.Klimavičius – Jausmas tikrai geras, džiaugiuosi papildęs „Hegelmann“ klubą, kuris yra su didelėmis ambicijomis. Abejonių jokių neturėjau, laukiu nesulaukiu, kada galėsiu pradėti.“
Iš Vilkaviškio kilęs ir Marijampolėje futbolo pagrindus įgavęs puolėjas, 2014 metais išvyko iš gimtosios šalies ir prisijungė prie seniausio Italijos klubo – „Genoa“.
Iki tol, kol tapo pilnaverčiu „grifinų“ nariu, A.Klimavičius savo įgūdžius tobulinosi „Spezia“. Vėliau iš Genujos klubo buvo skolinamas „Torino“ ir „Empoli“ ekipoms. Būtent šiame klube suvalkiečiui sekėsi geriausiai.
2021 metų sezone jis kartu su U-19 komandos draugais žibėjo Italijos jaunimo čempionato aukščiausioje lygoje. Lietuvis per 17 rungtynių pelnė 5 įvarčius. Sezono pabaigoje Augustinas dėl traumos buvo priverstas stebėti, kaip jo komandos draugai triumfuoja čempionate.
A.Klimavičius nuolat buvo kviečiamas į Lietuvos jaunimo rinktines ir žaidė komandose nuo U-17 iki U-21 amžiaus grupių. Pernai jis U-21 rinktinės gretose sužaidė 4 rungtynes.
A.Klimavičius tapo šeštuoju tarpsezonyje komandos naujoku. Per šį laikotarpį prie klubo taip pat prisijungė vartininkas iš Brazilijos Rodrigo Josviakis, gynėjai – brazilas Hugo Figueredo ir izraelietis Tzlilas Nehemya, saugas iš Brazilijos Matheusas Marcondele ir puolėjas Lazaras Sajčičius iš Serbijos.
