T.Press gimė Charkove, bet anksti neteko tėvo, kuris žuvo per II-ąjį pasaulinį karą. Paskui motiną persikėlusi į Samarkandą (Uzbekistanas) kartu su seserimi ji pradėjo lankyti lengvąją atletiką, o vėliau Sankt Peterburge tapo viena iškiliausių tų laikų sportininkių.
1960 metais olimpinėse žaidynėse atstovaudama SSRS ji iškovojo iškart du medalius – auksą rutulio stūmimo ir sidabrą disko metimo rungtyse. Abiejose rungtyse ji pasiekė olimpinius rekordus.
1964 metais olimpinėse žaidynėse T.Press jau triumfavo abiejose rungtyse – aukso medalis ir rutulio stūmimo, ir disko metimo varžybose.
Jos jaunesnioji sesuo Irina Press taip pat tapo olimpine čempione, laimėjusi aukso medalius 80 m bėgimo per barjerus varžybose 1960 metais ir lengvosios atletikos penkiakovės rungtyje 1964 metais.
Press šeimos sėkmė neliko nepastebėta, o ypač daug kalbų kėlė seserų fizinė jėga.
Tamara buvo 180 cm ūgio ir svėrė 102 kg – jos galingas sudėjimas skleidė gandus, kad abi seserys iš tiesų yra vyrai, o galbūt interseksualai.
Kai kurie laikraščiai jas vadino „Press broliais“.
Abi atletės baigė karjerą prieš pat 1966 metus, nuo kurių lengvosios atletikos varžybose pradėta tirti lytis.
Karštos diskusijos dėl interseksualių sportininkų verda iki šių dienų, o populiariausias pavyzdys yra dukart olimpinė čempionė 800 m bėgimo rungtyje Caster Semenya.
Pietų afrikietė nori, kad Europos žmonių teisių ginimo teismas išgirstų jos skundą dėl pasaulio lengvosios atletikos federacijos taisyklių, kurios dabar nustato testosterono kiekio organizme rodiklius rungtyse, tarp jų ir 800 m bėgime.
Tamara Press po karjeros pabaigos aktyviai dirbo trenere ir sporto mokslininke, pasiekusi daktarės laipsnį pedagogikos studijose. Ji parašė kelias knygas „Pergalės kaina“ ir „Lengvoji atletika nėra lengva“.
Per sportininkės karjerą iki 1965 metų T.Press pagerino net 11 pasaulio rekordų (5 rutulio stūmimo, 6 – disko metimų varžybose), iškovojo 16 SSRS čempionės titulų.
1958–1962 metais ji taip pat laimėjo ir tris Europos pirmenybių titulus – du disko metimo varžybose, vieną – rutulio stūmimo. Jos asmeniniai rekordai – 18,59 m rutulio stūmimo ir 59,70 disko metimo rungtyje.
